Mô hình nhị thức định giá quyền chọn là gì?

Mô hình nhị thức định giá quyền chọn là gì?

Mô hình nhị thức định giá quyền chọn (Binomial Option Pricing Model) là một phương pháp toán tài chính sử dụng cấu trúc cây nhị thức để ước tính giá trị hợp lý của quyền chọn. Trong mô hình này, giá tài sản cơ sở được giả định chỉ di chuyển theo hai hướng tại mỗi bước thời gian: tăng lên với hệ số u (up factor) hoặc giảm xuống với hệ số d (down factor). Mô hình được phát triển bởi John Cox, Stephen Ross và Mark Rubinstein vào năm 1979, và là một trong những công cụ nền tảng trong lĩnh vực tài chính phái sinh hiện đại.

Tại sao mô hình nhị thức quan trọng trong ngân hàng?

• Định giá sản phẩm phái sinh: Các ngân hàng thương mại sử dụng mô hình để định giá quyền chọn tiền tệ, quyền chọn lãi suất và các công cụ phòng ngừa rủi ro phức tạp.
• Quản trị rủi ro thị trường: Thông tư 44/2018/TT-NHNN yêu cầu tổ chức tín dụng phải có mô hình định giá phù hợp để xác định giá trị hợp lý và mức dự phòng rủi ro cho công cụ phái sinh.
• Tính linh hoạt cao: Mô hình có thể áp dụng cho nhiều loại quyền chọn, kể cả những sản phẩm có điều khoản phức tạp mà mô hình Black-Scholes không xử lý được.
• Khả năng kiểm tra chéo: Kết quả mô hình hội tụ về mô hình Black-Scholes khi số bước thời gian tăng lên vô cùng, giúp xác minh độ chính xác của tính toán.

Cách hoạt động và cách tính

Xây dựng cây nhị thức

Mô hình hoạt động theo nguyên tắc sau:

Bước 1: Xác định các tham số đầu vào

Bước 2: Tính hệ số u và d

u = e^(σ × √(Δt))
d = 1/u

Trong đó: Δt = T/n (khoảng thời gian mỗi bước)

Bước 3: Tính xác suất nguyên gốc (risk-neutral probability)

p = (e^(r×Δt) - d) / (u - d)

Bước 4: Xây dựng cây giá tài sở

Tại bước i, giá tài sản tại nút j được tính:

S(i,j) = S₀ × u^j × d^(i-j)

Bước 5: Tính giá trị quyền chọn bằng phương pháp đệ quy ngược

Với quyền chọn mua (Call):

C(i,j) = max(S(i,j) - K, 0)  (tại nút cuối)
C(i,j) = e^(-r×Δt) × [p × C(i+1,j+1) + (1-p) × C(i+1,j)]  (các nút trước)

Với quyền chọn bán (Put):

P(i,j) = max(K - S(i,j), 0)  (tại nút cuối)
P(i,j) = e^(-r×Δt) × [p × P(i+1,j+1) + (1-p) × P(i+1,j)]

Ví dụ thực tế

Ví dụ 1: Quyền chọn mua cổ phiếu với mô hình 1 bước

Giả sử cổ phiếu của Công ty X đang giao dịch ở mức S = 100.000 đồng. Một nhà đầu tư muốn mua quyền chọn mua với giá thực hiện K = 105.000 đồng, thời hạn T = 0,5 năm (6 tháng). Các tham số khác: độ biến động σ = 30%/năm và lãi suất phi rủi ro r = 8%/năm.

Bước 1: Tính Δt = 0,5/1 = 0,5

Bước 2: Tính u và d

u = e^(0,3 × √0,5) = e^(0,3 × 0,7071) = e^0,2121 = 1,236
d = 1/1,236 = 0,809

Bước 3: Tính xác suất nguyên gốc

p = (e^(0,08×0,5) - 0,809) / (1,236 - 0,809)
  = (1,0408 - 0,809) / 0,427
  = 0,2318 / 0,427
  = 0,543

Bước 4: Tính giá tại nút cuối

• Nếu giá tăng: S × u = 100.000 × 1,236 = 123.600 đồng
• Nếu giá giảm: S × d = 100.000 × 0,809 = 80.900 đồng

Bước 5: Tính giá trị quyền chọn tại nút cuối

• Tại nút tăng: max(123.600 - 105.000, 0) = 18.600 đồng
• Tại nút giảm: max(80.900 - 105.000, 0) = 0 đồng

Bước 6: Tính giá trị hiện tại của quyền chọn

C₀ = e^(-0,08×0,5) × [0,543 × 18.600 + 0,457 × 0]
    = 0,9608 × 10.100
    = **9.700 đồng**

Vậy giá hợp lý của quyền chọn mua này là 9.700 đồng.

Ví dụ 2: Ứng dụng trong quyền chọn tỷ giá

Ngân hàng A cung cấp cho Doanh nghiệp B quyền chọn mua USD với tỷ giá thực hiện K = 24.500 VND/USD. Tỷ giá giao ngay hiện tại S = 24.000 VND/USD, thời hạn 3 tháng, độ biến động σ = 12%/năm, lãi suất VND phi rủi ro r = 6%/năm. Sử dụng mô hình nhị thức 2 bước, Ngân hàng A có thể tính phí quyền chọn phù hợp dựa trên biến động lịch sử của cặp tỷ giá và thời hạn hợp đồng.

Phân biệt với thuật ngữ liên quan

Câu hỏi thường gặp trong đề thi

Câu 1: Trong mô hình nhị thức định giá quyền chọn, hệ số giảm giá (d) được tính bằng công thức nào sau đây?

• A. d = σ × √Δt
• B. d = e^(σ × √Δt)
• C. d = 1/u
• D. d = (e^(r×Δt) - u) / (d - u)

Câu 2: Khi số bước thời gian (n) trong mô hình nhị thức tiến tới vô cùng, kết quả định giá quyền chọn sẽ:

• A. Dao động ngẫu nhiên không có xu hướng
• B. Hội tụ về kết quả của mô hình Black-Scholes
• C. Hội tụ về giá trị danh nghĩa của quyền chọn
• D. Giảm dần và tiến về 0

Câu 3: Xác suất nguyên gốc (risk-neutral probability) p trong mô hình nhị thức phụ thuộc vào các yếu tố nào?

• A. Chỉ phụ thuộc vào độ biến động σ
• B. Chỉ phụ thuộc vào lãi suất r
• C. Phụ thuộc vào cả lãi suất r, hệ số u và hệ số d
• D. Phụ thuộc vào giá tài sản hiện tại S và giá thực hiện K

Tổng kết

Mô hình nhị thức định giá quyền chọn là công cụ toán tài chính quan trọng, giúp các ngân hàng và tổ chức tài chính xác định giá trị hợp lý của các sản phẩm phái sinh một cách chính xác và minh bạch. Với cấu trúc trực quan, tính linh hoạt cao và khả năng hội tụ về mô hình Black-Scholes, đây là kiến thức không thể bỏ qua đối với bất kỳ thí sinh nào muốn chinh phục kỳ thi tuyển dụng ngân hàng. Hãy luyện tập thực hành xây dựng cây nhị thức và tính toán các tham số để nắm vững mô hình này.